¿Cuál es la diferencia entre continuo y uniformemente continuo para una función?


Respuesta 1:

Continuidad en un punto particular

PP

es como un juego: alguien te reta a mantenerte dentro de una precisión objetivo determinada, tú respondes encontrando una pequeña región alrededor

PP

dentro del cual la función no se mueve fuera de esa precisión. Si puedes ganar este juego, no importa cuán apretada sea la precisión de tu oponente, la función es continua en ese punto en particular

PP

.

Si desea verificar la continuidad en un punto diferente

QQ

, el juego comienza de nuevo. Desafíos del oponente, tú respondes. Tus respuestas en el juego

QQ

puede ser totalmente diferente de sus respuestas

PP

. Área diferente, la función puede comportarse de manera diferente allí, es un juego nuevo. Si también ganas este juego, la función es continua en

QQ

también.

Si puedes ganar todos esos juegos en todos los puntos en alguna región

AA

, la función es continua en todo momento

AA

. Pero la forma en que ganas esos juegos puede, de nuevo, ser diferente para diferentes puntos en

AA

.

La continuidad uniforme cambia esto: ahora estamos jugando un solo juego de alto riesgo para toda la región.

AA

, de una sola vez. Tu oponente te reta con precisión, tú respondes encontrando un radio que tiene que funcionar en cualquier punto

PP

dentro de la region

AA

. Ese mismo radio debe hacer que la función no se desvíe más allá de la precisión permitida en cualquier lugar.

Aquí hay un ejemplo simple. Toma una función simple como

y=3xy=3x

y mira su gráfica.

¿Es continuo? Seguro. En cualquier punto que me des, si quiero que la función no se mueva más de

110\frac{1}{10}

Solo me quedaré dentro

130\frac{1}{30}

del punto de partida. Cambiar la variable por no más de

130\frac{1}{30}

se garantiza que no cambiará la función en más de

110\frac{1}{10}

. Por supuesto, lo mismo es cierto para

1100\frac{1}{100}

o precisiones más pequeñas.

De hecho, una vez que me dices cuál es mi restricción, simplemente la divido por

33

y ese es el radio que funcionará en todas partes. La misma estrategia es ganar el juego donde quieras. Entonces esta función es uniformemente continua.

Compare esto con la función

y=1xy=\frac{1}{x}

. Esta función se define sobre cualquier región que excluya

x=0x=0

así que por simplicidad tomemos

A=(0,10)A=(0,10)

, el intervalo abierto de

00

a

1010

exclusivo.

¿La función es continua? Ciertamente se parece. ¿Es continuo en

x=5x=5

? Sí, y es bastante plano allí; si necesitas una precisión de

110\frac{1}{10}

para los valores, puede mantener la variable también dentro de

110\frac{1}{10}

alrededor

x=5x=5

.

¿Qué tal cuándo?

x=18x=\frac{1}{8}

? La función sigue siendo continua allí, pero la pendiente ahora es muy empinada. El valor que hay

y=f(18)=8y=f(\frac{1}{8})=8

y si necesito quedarme dentro

110\frac{1}{10}

de ese valor, debo mantener mi variable entre los recíprocos de

81108\frac{1}{10}

y

79107\frac{9}{10}

,namelybetweenroughly0.124and[math]0.126[/math].Icandothat,butitsaverynarrowrangeindeed:tokeepthevaluefrommovingbyatenth,Ineedtoconstrainthevariablewithinarangeofonethousandth.Again,thisisntsurprisingifyoujustlookatthegraph:thefunctionisverysteep,sotinychangestotheinputhaveahugeimpactontheoutput., namely between roughly 0.124 and [math]0.126[/math]. I can do that, but it's a very narrow range indeed: to keep the value from moving by a tenth, I need to constrain the variable within a range of one thousandth. Again, this isn't surprising if you just look at the graph: the function is very steep, so tiny changes to the input have a huge impact on the output.

En resumen, la función

y=1xy=\frac{1}{x}

es de hecho continuo durante todo el intervalo

(0,10)(0,10)

(de hecho, es continuo en todas partes donde se define), pero no es uniformemente continuo en ese intervalo abierto porque los desafíos en diferentes puntos requieren diferentes respuestas.

Para establecer estas cosas más formalmente, compare estas dos definiciones:

  1. Continuidad: por cada
  2. x0Ax_0 \in A
  3. y para cualquier
  4. ϵ>0\epsilon>0
  5. hay algunos
  6. δ>0\delta>0
  7. tal que
  8. f(x)f(x)
  9. está dentro
  10. ϵ\epsilon
  11. off(x0)whenever[math]x[/math]iswithin[math]δ[/math]of[math]x0[/math].Uniformcontinuity:Forany[math]ϵ>0[/math]thereissome[math]δ>0[/math]suchthatforevery[math]x0A[/math],[math]f(x)[/math]iswithin[math]ϵ[/math]of[math]f(x0)[/math]whenever[math]x[/math]iswithin[math]δ[/math]of[math]x0[/math]. of f(x_0) whenever [math]x[/math] is within [math]\delta[/math] of [math]x_0[/math].Uniform continuity: For any [math]\epsilon>0[/math] there is some [math]\delta>0[/math] such that for every [math]x_0 \in A[/math], [math]f(x)[/math] is within [math]\epsilon[/math] of [math]f(x_0)[/math] whenever [math]x[/math] is within [math]\delta[/math] of [math]x_0[/math].

En la primera definición, el número

δ\delta

debe ser suministrado dado

x0x_0

y

ϵ\epsilon

. En otras palabras, puede depender de ambos. Por supuesto que necesitas una más pequeña

δ\delta

El pequeño

ϵ\epsilon

is,butyoucanalsoprovideadifferentδatdifferentlocations[math]x0[/math].Intheseconddefinition,younolongerhavethatluxury:[math]δ[/math]mustonlydependon[math]ϵ[/math]andhastoworkeverywhere,forevery[math]x0[/math].Thisisthedifferencebetweencontinuityanduniformcontinuity. is, but you can also provide a different \delta at different locations [math]x_0[/math]. In the second definition, you no longer have that luxury: [math]\delta[/math] must only depend on [math]\epsilon[/math] and has to work everywhere, for every [math]x_0[/math]. This is the difference between continuity and uniform continuity.