¿Cuál es la diferencia entre las funciones convexas, cóncavas y no convexas?


Respuesta 1:

Las funciones convexas se encuentran principalmente en la investigación de operaciones debido a una amplia lista de propiedades de optimización. Hay muchas definiciones utilizables diferentes de funciones convexas, pero utilizaré lo que creo que es la definición más estándar (en el caso unidimensional).

Una función

f:SRf: S \to \R

dónde

SS

es un subconjunto convexo de

R\R

satisfactorio

\begin{equation*} f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)\end{equation*}

para cualquier

x,ySx,y \in S

andλ[0,1]. and \lambda \in [0,1].

Básicamente, una función convexa es una función en la que cualquier segmento de línea que conecta dos puntos en el gráfico se encuentra por encima del gráfico mismo. La intuición geométrica es bastante estándar. En la escuela secundaria, se nos (me enseñaron) que una función convexa puede "retener agua" en el sentido de que si vierte agua sobre su gráfico, el agua no se filtraría.

Bueno, eso no es del todo cierto. En la escuela secundaria, me enseñaron esto para gráficos cóncavos, una frase que no puedo soportar hasta el día de hoy. Históricamente, no estoy seguro de si la concavidad o la convexidad jugaron un papel más importante primero, pero estaría dispuesto a apostar por la convexidad. Dicho esto, no tengo idea terrenal de por qué el cálculo AP elimina por completo los dos términos y redefine la convexidad como cóncava. En cualquier caso, una función es cóncava cuando se cumple la desigualdad inversa anterior, es decir, cuando su negación es convexa.

Continuando con la pregunta, las funciones no convexas son, como se puede imaginar, cualquier función que no satisfaga la desigualdad anterior en algún par de puntos. No necesita ser cóncavo. La función

f(x)=x3f(x) = x^3

terminado

R\R

No es cóncavo ni convexo.

Las funciones convexas son esencialmente el casco, el juego de palabras, de la teoría de la optimización. Si está tratando de minimizar una función convexa en algunas buenas condiciones, hay muchas maneras de hacerlo. Si está tratando de minimizar una función no convexa, buena suerte.