¿Cuál es la diferencia exacta entre la transformada continua de Fourier, la Transformada discreta de Fourier de tiempo (DTFT), la Transformada discreta de Fourier (DFT) de la serie Fourier y la Discreta de Fourier (DFS)? ¿En qué casos se utiliza?


Respuesta 1:

1. Tiempo discreto Transformada de Fourier

El DTFT (Discrete Time Fourier Transform) no es más que un nombre elegante para la transformada de Fourier de una secuencia discreta. Se define como:

La variable de frecuencia es continua, pero dado que la señal misma se define en instantes discretos, la transformada de Fourier resultante también se define en instantes discretos de tiempo. El número de puntos de tiempo seguirá siendo infinito. Es solo que entre dos puntos de tiempo tendrías un número finito de puntos.

También sabemos que la transformada de Fourier de una señal muestreada es una serie de réplicas del espectro de la señal original a frecuencias separadas por la frecuencia de muestreo.

Matemáticamente, esto se expresa por

Aquí T es el período de muestreo, por lo que esta es una expresión matemática alternativa para el DTFT.

Como podemos ver, el DTFT es periódico, con un período igual a la frecuencia de muestreo. Por lo tanto, normalmente representamos DTFT en un solo período como se muestra a continuación. Esto está implícito en la definición.

Matemáticamente, esta periodicidad también se puede observar al observar la periodicidad del exponencial discreto (en el tiempo)

2.Transformada discreta de Fourier

Pero el DTFT es difícil de evaluar en una computadora, ya que una computadora solo funciona en un número finito de puntos. Entonces, para hacer posible la evaluación de la DTFT en una computadora, elegimos un número finito de puntos de frecuencia. Esto es equivalente a muestrear la transformada de Fourier en un cierto número de puntos. Esto se llama Transformada discreta de Fourier (DFT).

La convención general es usar N frecuencias separadas por 2 * pi / N radianes. 2 * pi corresponde a la variación de frecuencia angular sobre un ciclo de la forma de onda original (el ciclo sobre el cual tomamos las N muestras de tiempo). Dividimos esto en N 'bins' de frecuencia que indexamos por una variable de índice k.

Matemáticamente, esto se expresa como

Dado que la DFT es básicamente la versión muestreada de la DTFT, también es periódica, con un período N (el número de muestras de frecuencia tomadas). Por lo tanto, el DFT también se representa en un 'período' (período de frecuencia discreta - N). Esto está implícito en la definición.

Matemáticamente, esta periodicidad se puede observar observando la periodicidad del exponencial discreto (tanto en tiempo como en frecuencia)

3.Serie discreta de Fourier

La serie Fourier usa un número infinito de exponenciales complejos para representar una señal. Aunque las frecuencias de la señal son discretas, hay una infinidad de ellas. El número de puntos de frecuencia será infinito. Sin embargo, entre dos puntos de frecuencia, tendrá un número finito de puntos de frecuencia. Entonces tienes un espectro discreto.

Para hacer posible la evaluación de una serie de Fourier en una computadora, elegimos un número finito de puntos de frecuencia (exponenciales complejos). Esto se llama una serie de Fourier discreta (DFS). (Dado que la serie de Fourier solo puede usarse para señales periódicas, tiene un número finito de muestras en un solo período de la señal).

Nuevamente, como con la Transformada discreta de Fourier, la convención es usar N frecuencias separadas por 2 * pi / N radianes. Aquí 2 * pi corresponde a la variación angular en un período. Lo dividimos en N 'bins' de frecuencia que indexamos por una variable de índice k.

Una señal discreta se expresa utilizando el DFS de la siguiente manera:

donde los coeficientes complejos están dados por:

Como puede ver, esta es una combinación lineal de N exponenciales discretos complejos:

El DFS también es periódico con el período N (el número de muestras tomadas durante un período). Por lo tanto, también está representado en un período.

Matemáticamente, esta periodicidad se puede ver al observar la periodicidad de los coeficientes complejos:

¿En qué casos se usa cada uno?

La serie de Fourier y la transformada de Fourier se pueden usar para señales periódicas y aperiódicas.

Una señal periódica se puede expresar en el dominio del tiempo como una serie de Fourier, que no es más que una serie de exponenciales. Ahora sabemos que la Transformada de Fourier de una función exponencial es un impulso. Entonces, si tomamos la transformada de Fourier de esta señal, tenemos una serie de funciones de impulso.

La transformada de Fourier de una señal periódica es, por lo tanto, una serie de funciones de impulso en las frecuencias armónicas. Es un espectro discreto, al igual que lo que obtuvimos con la serie de Fourier. No hay información nueva en esto. Simplemente indica el hecho de que "la transformada de Fourier de una señal periódica es discreta".

De manera similar, podemos representar una señal aperiódica usando la serie de Fourier de la siguiente manera.

Podemos crear una función periódica sumando (repitiendo) un número infinito de instancias de una función aperiódica:

donde P es el período de la función periódica resultante.

Ahora,

fPf_P

se puede expresar como una serie de Fourier compleja y se puede demostrar que los coeficientes de la serie de Fourier son proporcionales a las muestras de la transformada de Fourier de

f f

tomado a intervalos de 1 / P. Este es en realidad un caso particular de la fórmula de suma de Poisson. Vea aquí para una prueba (Página - 285 - Sección - 8.2.1):

http: //www.siam.org/books/ot102 / ...

Sin embargo, recuerde que hay problemas de convergencia. Entonces, uno de los dos podría ser más adecuado en algunos casos. (Escribiré más sobre esto cuando el tiempo lo permita).

Ahora, para evaluar la Transformada de Fourier o la Serie de Fourier en una computadora, debe hacer que el número de puntos en los dominios de tiempo y frecuencia sean finitos.

Discretización del dominio del tiempo:

Para una señal periódica, dado que la información durante un período describe la señal para todo el tiempo, solo necesita tomar un número finito de muestras de tiempo durante un período y ya está.

Para una señal aperiódica, debe limitar la señal en el tiempo y tomar muestras durante este período para discretizarla en el dominio del tiempo.

Discretización del dominio de frecuencia:

Para la discretización del dominio de frecuencia, simplemente toma puntos espaciados uniformemente sobre un círculo complejo (2 * pi radianes), es decir, un 'período' (para una señal aperiódica, el período aquí representa el intervalo durante el cual ha sido limitado en el tiempo).

Ver también:

Mi blog sobre temas de Señales y Sistemas:

Nikhil en Señales y Sistemas


Respuesta 2:

La serie de Fourier descompone una señal dada en sinusoides armónicos discretos. Se supone que la señal presentada es periódica. Por lo tanto, los coeficientes de la serie de Fourier, llamados FSC, son discretos. Decimos que el espectro desarrollado por la serie de Fourier es discreto, con cada frecuencia separada por f0, la frecuencia más baja en la señal.

La Transformada de Fourier de tiempo continuo (CTFT) es una modificación de la serie de Fourier de tal manera que se supone que el período de la señal se extiende hasta el infinito como se muestra en la Figura 4.2 anterior. Por lo tanto, la resolución de frecuencia ahora se vuelve muy muy pequeña. Los armónicos ahora están tan cerca el uno del otro que el espectro se vuelve continuo como vemos en la Figura a continuación. Sin embargo, si calcula la CTFT de una señal periódica, que tiene un período bien definido, la CTFT es discreta al igual que el FSC. (¡Muy confuso!)

DTFT

Aquí la señal es discreta. Pero al igual que en CTFT, aquí también dejamos que el período vaya al infinito como en la figura a continuación.

Y ahora su espectro también es continuo pero complica las cosas, ¡se repite! Tenga en cuenta que CTFT es una integral y DTFT es una suma.

Si desea comprender profundamente este tema, que es de fundamental importancia en DSP y muchas otras ciencias, debe leer mi libro (estas cifras provienen de mi libro).

Este no es un tema que se enseñe bien en las universidades como debería ser.

Las cifras contenidas aquí son de "Guía intuitiva para el análisis de Fourier y la estimación espectral"

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Respuesta 3:

La serie de Fourier descompone una señal dada en sinusoides armónicos discretos. Se supone que la señal presentada es periódica. Por lo tanto, los coeficientes de la serie de Fourier, llamados FSC, son discretos. Decimos que el espectro desarrollado por la serie de Fourier es discreto, con cada frecuencia separada por f0, la frecuencia más baja en la señal.

La Transformada de Fourier de tiempo continuo (CTFT) es una modificación de la serie de Fourier de tal manera que se supone que el período de la señal se extiende hasta el infinito como se muestra en la Figura 4.2 anterior. Por lo tanto, la resolución de frecuencia ahora se vuelve muy muy pequeña. Los armónicos ahora están tan cerca el uno del otro que el espectro se vuelve continuo como vemos en la Figura a continuación. Sin embargo, si calcula la CTFT de una señal periódica, que tiene un período bien definido, la CTFT es discreta al igual que el FSC. (¡Muy confuso!)

DTFT

Aquí la señal es discreta. Pero al igual que en CTFT, aquí también dejamos que el período vaya al infinito como en la figura a continuación.

Y ahora su espectro también es continuo pero complica las cosas, ¡se repite! Tenga en cuenta que CTFT es una integral y DTFT es una suma.

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Respuesta 4:

La serie de Fourier descompone una señal dada en sinusoides armónicos discretos. Se supone que la señal presentada es periódica. Por lo tanto, los coeficientes de la serie de Fourier, llamados FSC, son discretos. Decimos que el espectro desarrollado por la serie de Fourier es discreto, con cada frecuencia separada por f0, la frecuencia más baja en la señal.

La Transformada de Fourier de tiempo continuo (CTFT) es una modificación de la serie de Fourier de tal manera que se supone que el período de la señal se extiende hasta el infinito como se muestra en la Figura 4.2 anterior. Por lo tanto, la resolución de frecuencia ahora se vuelve muy muy pequeña. Los armónicos ahora están tan cerca el uno del otro que el espectro se vuelve continuo como vemos en la Figura a continuación. Sin embargo, si calcula la CTFT de una señal periódica, que tiene un período bien definido, la CTFT es discreta al igual que el FSC. (¡Muy confuso!)

DTFT

Aquí la señal es discreta. Pero al igual que en CTFT, aquí también dejamos que el período vaya al infinito como en la figura a continuación.

Y ahora su espectro también es continuo pero complica las cosas, ¡se repite! Tenga en cuenta que CTFT es una integral y DTFT es una suma.

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